Podmínky udělení zápočtu: vypracování dvou seminárních prací dle níže uvedené specifikace a jejich konzultace s vyučujícím. Účast na cvičeních není požadována.
Známku určím dle výkonu na cvičeních a kvality seminárních prací. Nebude-li student s navrženou známkou spokojen, může být přezkoušen z dohodnuté látky.
Seminární práce:
Jakožto budoucí učitelé musí být studenti schopni též navrhovat úlohy.
Proto budou seminární práce zadány jen rámcově, vytvoření konkrétní
úlohy je součást zadání. První seminární práci si student volí mezi
výpočtem funkčních hodnot a hledáním kořenů, druhá je numerická
integrace. Termín odevzdání: týden před koncem
zkouškového období.
1a. Výpočet funkčních hodnot transcendentních funkcí.
Úloha:
Implementujte výpočet hodnot některé ze základních transcendentních
funkcí (e^x, ln(x), sin(x), cos(x), arcsin(x), arccos(x), arctg(x)),
která nebyla implementována ve výuce.
Parametry kvality: Rychlost konvergence, přesnost, univerzalita.
1b. Hledání kořenů funkcí
Úloha: Vytvořte matematickou úlohu vedoucí k hledání kořenů
funkce, jejíž kořeny nelze (nebo lze, ale velmi obtížně) vyjádřit
pomocí elementárních funkcí. Tuto numerickou úlohu řešte dvěma
metodami, z nichž jedna bude metoda Newtonova. Zpracujte v libovolném k
tomu uzpůsobeném softwaru.
Parametry kvality: originalita úlohy, obtížnost převodu z
matematické na numerickou úlohu, počet kořenů, srovnání rychlosti
konvergence různých metod pro různé počáteční hodnoty, přehlednost a
didaktičnost práce.
Ukázkové příklady:
a) Na obvodu kruhového trávníku o poloměru 1 je zaražen kůl, k němuž je
na provaze přivázána koza. Určete délku provazu tak, aby koza vyžrala
právě polovinu trávníku.
b) Určete definiční obor funkce ln(x+4cos(x)). (Kromě definičního oboru
lze zjišťovat též např. intervaly monotonie nebo konvexnosti a
konkávnosti, případně hledat extrémy nebo inflexní body.)
c) Nalezněte všechny průsečíky dvou nesoustředných kuželoseček. Kuželosečky navrhněte tak, aby měly čtyři průsečíky.
2. Numerická kvadratura
Úloha: Sestává se ze dvou částí.
a)
Pro jednoduchou symbolicky integrovatelnou funkci na zvoleném intervalu
sestavte tabulku výsledků numerické integrace obdélníkovým,
lichoběžníkovým a Simpsonovým pravidlem pro počet dělících bodů
n=2^k, kde k je z {0,1,...,10}. Sestavte také tabulku chyb, tj.
odchylek výsledků numerické integrace oproti přesnému výsledku.
b)
Spočtěte numericky nevlastní integrál 1. typu
(integrovaná funkce má v některém bodě intervalu nekonečnou limitu) z
funkce, již nelze (nebo jen velmi obtížně) integrovat symbolicky.
Užijte Simpsonovo pravidlo.
Parametry kvality: matematická korektnost řešení.
Ukázkové příklady (b):
a) integrál e^x/x^(1/2) na (0,1)
b) integrál 1/arctg(x^(1/2)) na (0,1)